DP 2D на Python: как решать + 5 задач с проверкой

DP 2D (двумерная динамика) — это способ решать задачи, где состояние описывается двумя числами: например, клетка на поле (i, j), или «сколько предметов рассмотрели и какой вес уже набрали», или «позиция в строке и длина/маска/баланс». В олимпиадных задачах она часто встречается в маршрутах по клеткам (минимальная стоимость/максимальная сумма), в рюкзаках, в редакторских расстояниях и «автозамене», в задачах на разбиения и подсчёт способов.

Как распознать, что нужна DP 2D:

• есть таблица/сетка, и переходы зависят от соседей (вверх/влево/диагональ), или разрешены ходы вправо/вниз;
• в условии просят «минимум/максимум/количество способов», а выбор на шаге влияет только на пару параметров;
• можно сформулировать: «чтобы посчитать ответ для (i, j), достаточно знать ответы для меньших (i’, j’)».

Суть приёма: заводим массив dp[i][j] — лучший ответ для состояния (i, j), и заполняем его в правильном порядке (обычно по строкам/столбцам). Переход — это минимум/максимум/сумма из нескольких предыдущих состояний плюс цена текущего шага. Это ускоряет решение, потому что вместо перебора всех путей/вариантов мы считаем каждый dp[i][j] ровно один раз.

С чего начать учиться:

• чётко определить, что означает dp[i][j] (одна фраза);
• выписать переходы (откуда можно прийти) и базу (первая строка/столбец);
• выбрать порядок заполнения, чтобы все нужные состояния уже были посчитаны;
• продумать ответ: где лежит итог (например, dp[m][n]) и нужны ли восстановление пути/оптимизация памяти до двух строк.

Ниже — задачи с автопроверкой и разбором подхода по DP 2D.