Геометрия (формулы) на Python: как решать + 8 задач с проверкой

В олимпиадной «геометрии (формулы)» главное — не чертить красиво, а быстро перевести условие в вычисления: длины, площади, углы, принадлежность точки фигуре. Такие задачи часто выглядят как «кварталы на карте» (прямоугольники), «хитбокс курсора» (попадает ли точка внутрь), «тип треугольника по сторонам», «двойная площадь треугольника по координатам», «перекрытие двух областей», «после n шагов площадь стала какой?».

Как распознать, что нужна именно формульная геометрия:

• даны координаты/стороны/радиусы, а в ответе просят площадь, периметр, расстояние или “да/нет”;
• есть слова «квадрат расстояния», «не извлекайте корень», «целая часть», «округлить вниз»;
• большие ограничения (например, n до 1 000 000) намекают: нужно вывести формулу/прогрессию, а не моделировать;
• важно переполнение: a до 1 000 000 означает, что a*a требует 64-битные целые.

Суть приёма: выбрать удобную модель (координаты или стороны), записать известные формулы и посчитать аккуратно. Это ускоряет решение, потому что вы избегаете перебора и вещественных ошибок: сравниваете по квадратам, считаете площади через целые выражения и берёте целую часть только в конце.

С чего начать учиться:

• выучи базу: расстояние и «квадрат расстояния», Пифагор, площадь прямоугольника/треугольника, площадь пересечения двух прямоугольников;
• тренируй «попал ли пункт»: точка в прямоугольнике/круге (часто без корней);
• держи типы под контролем: 64-битные целые, умножение до 10^12 и выше;
• если есть повторение n раз — ищи коэффициент изменения (например, площадь каждый шаг умножается на одно и то же число) и считай степенью.

Ниже — задачи с автопроверкой и разбором подхода.